Question

(本题满分15分)

已知函数，设, .

（Ⅰ）试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；

（Ⅱ）试判断的大小并说明理由；

（Ⅲ）求证：对于任意的,总存在，满足，并确定这样的的个数.

Answer 1

(本题满分15分)

已知函数，设, .

（Ⅰ）试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；

（Ⅱ）试判断的大小并说明理由；

（Ⅲ）求证：对于任意的,总存在，满足，并确定这样的的个数.

解：（Ⅰ）因为

由；由,

所以在 上递增,在上递减

要使在上为单调函数,则       -------------4分

（Ⅱ）因为在上递增,在上递减，

∴在处有极小值， 又，

∴ 在上的最小值为

     从而当时,，即         -------------8分

（Ⅲ）证：∵，又∵，

∴,   令,从而问题转化为证明方程=0在上有解,并讨论解的个数-------------9分

   ∵,

,      ---------------- 10分

当时,,

所以在上有解,且只有一解      ---------------- 11分

②当时,,但由于,

所以在上有解,且有两解        ------------------- 12分

③当时,,故在上有且只有一解；

当时,,

所以在上也有且只有一解               ------------------- 13分

综上所述, 对于任意的,总存在,满足,

且当时,有唯一的适合题意；

当时,有两个适合题意.                           --------------14分

（说明：第（3）题也可以令,,然后分情况证明在其值域内,并讨论直线与函数的图象的交点个数即可得到相应的的个数）