Question

如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，四个侧面都是等边三角形，AC与BD交于点O，E为侧棱SC上的一点．
（1）若E为SC的中点，求证：SA∥平面BDE；
（2）求证：平面BDE⊥平面SAC；
（3）若正方形ABCD边长为2，求四棱锥SABCD的体积．

Answer 1

分析：（1）利用线面平行的判定定理判断．（2）利用面面垂直的判定定理证明．（3）利用锥体的体积公式求体积．

解答：解：（1）连结OE，因为E，O分别是SC，AC的中点，所以OE∥SA，
因为OE?面BDE，SA?面BDE，所以SA∥平面BDE；
（2）因为四棱锥SABCD中，四个侧面都是等边三角形，所以SA=SC，SD=SB，
所以SO⊥AC，S0⊥BD，
又底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
因为S0∩AC=O，
所以BD⊥平面SAC；
又BD?平面BDE，
所以平面BDE⊥平面SAC；
（3）由（2）知SO⊥AC，S0⊥BD，
所以SO⊥平面ABCD；即SO是四棱锥SABCD的高．
因为正方形ABCD边长为2，所以SB=2，OC=

2

，
所以SO=

SB2-OC2

=

22-2

=

2

．
所以四棱锥SABCD的体积为

1

3

×22×

2

=

4 2

3

．

点评：本题主要考查空间直线和平面平行以及面面垂直的判定，要求熟练掌握相应的判定定理．