Question

3．已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2t}\\{y=4{t}^{2}}\end{array}\right.$（t为参数），直线l：x-y-1=0．
（1）求曲线C上的点到直线l的距离的最小值；
（2）过点M（0，2）与直线l平行的直线l′与曲线C交于A、B两点，试求|MA|+|MB|的值．

Answer 1

分析 （1）设曲线C上的点P（2t，4t²），（t为参数），利用点到直线的距离公式、二次函数的单调性即可得出．
（2）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2t}\\{y=4{t}^{2}}\end{array}\right.$（t为参数），化为普通方程：y=x²．与直线l平行的直线l′的斜率k=1，倾斜角为$\frac{π}{4}$．可得直线l′的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}m}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}m}\end{array}\right.$，（m为参数），代入抛物线方程化简可得关于m的一元二次方程，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．

解答 解：（1）设曲线C上的点P（2t，4t²），（t为参数）．
曲线C上的点P到直线l的距离d=$\frac{|2t-4{t}^{2}-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{4（t-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{3}{4}}{\sqrt{2}}$≥$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，当且仅当t=$\frac{1}{4}$时取等号．
∴P$（\frac{1}{2}，\frac{1}{4}）$，曲线C上的点到直线l的距离的最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{8}$．
（2）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2t}\\{y=4{t}^{2}}\end{array}\right.$（t为参数），化为普通方程：y=x²．
与直线l平行的直线l′的斜率k=1，倾斜角为$\frac{π}{4}$．
可得直线l′的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}m}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}m}\end{array}\right.$，（m为参数），代入抛物线方程可得：m²-$\sqrt{2}$m-4=0，
∴m₁+m₂=$\sqrt{2}$，
∴|MA|+|MB|=|m₁|+|m₂|=|m₁-m₂|=$\sqrt{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}-4{m}_{1}{m}_{2}}$=$\sqrt{2-4×（-4）}$=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、直线与抛物线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数、参数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．