Question

12．已知函数f（x）=ln（1+x）-ax（a∈R）．
（ I）当a=0时，过点P（-1，0）作曲线y=f（x）的切线，求切线的方程；
（ II）讨论函数f（x）在[0，+∞）的单调性；
（ III）当0＜y＜x＜1时，证明：lnx-lny＞ln（x-y）+1．

Answer 1

分析 （ I）当a=0时，设切点P（x₀，ln（1+x₀）），求出切线斜率，即可求切线的方程；
（ II）求导数，分类讨论，利用导数的正负讨论函数f（x）在[0，+∞）的单调性；
（ III）证明lnx-lny＞x-y，同时0＜x-y＜1，有M（x-y）=-ln（x-y）+（x-y）-1＞0，即x-y＞ln（x-y）+1，即可证明：lnx-lny＞ln（x-y）+1．

解答 （ I）解：当a=0时，f（x）=ln（1+x），设切点P（x₀，ln（1+x₀）），
∵$f'（x）=\frac{1}{1+x}$，∴$\frac{1}{{1+{x_0}}}=\frac{{ln（{x_0}+1）}}{{{x_0}+1}}$，即x₀=e-1，
∴切线的斜率$k=\frac{1}{e}$，切线的方程为x-ey+1=0；
（ II）解：∵$f'（x）=\frac{1}{1+x}-a$，且当[0，+∞）时有$\frac{1}{1+x}∈（{0，1}]$，
∴当a≤0时，$f'（x）=\frac{1}{1+x}-a≥0$在[0，+∞）上恒成立，即f（x）在[0，+∞）上单调递增
当a≥1时，$f'（x）=\frac{1}{1+x}-a≤0$在[0，+∞）上恒成立，即f（x）在[0，+∞）单调递减
当0＜a＜1时，f（x）在[0，$\frac{1-a}{a}$）上单调递増，在$（\frac{1-a}{a}，+∞）$上单调递减；
（ III）证明：当0＜a＜1时，f（x）的最大值为M（a）=-lna+a-1．
∵$M'（a）=\frac{a-1}{a}＜0$在（0，1）上恒成立，
∴M（a）=-lna+a-1在（0，1）上单调递减，即M（a）=-lna+a-1＞0，
∴-lny+y-1＞-lnx+x-1，即lnx-lny＞x-y，
同时0＜x-y＜1，有M（x-y）=-ln（x-y）+（x-y）-1＞0，即x-y＞ln（x-y）+1，
∴当0＜y＜x＜1时，有lnx-lny＞ln（x-y）+1．

点评 本题考查函数与导数，利用导数研究函数的单调性，极值，并利用单调性比较大小．考查了分类讨论、构造、推理计算能力．