Question

已知函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数．
（1）求a、b的值；
（2）当时，求函数f（x）的值域；
（3）若不等式f（2^x）-k≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

解：（1）由于函数g（x）的对称轴为直线x=1，a＞0，
所以g（x）在[2，3]上单调递增，
则，即，解得a=1，b=0；
（2）由（1）知，f（x）=x+-2，f′（x）=1-，
当x时，f′（x）＜0，当x∈（1，2]时，f′（x）＞0，
所以f（x）在[，1）上单调递减，在（1，2]上单调递增，
当x=1时f（x）取得最小值，当x=或x=2时f（x）取得最大值，
，其值域为[0，]；
（3）因为x∈[-1，1]，所以，
f（2^x）-k≥0在x∈[-1，1]上恒成立，等价于f（x）_min≥k在[，2]上恒成立，
由（2）知，k≤0；
分析：（1）由函数g（x）的对称轴可知其在[2，3]上的单调性，根据单调性可表示出g（x）的最大、最小值，分别令其等于4，1可得方程组，解出即可；
（2）先由（1）得到函数f（x），利用导数可判断f（x）在[，2]上的单调性，据单调性可得函数的最大值、最小值，从而得值域；
（3）f（2^x）-k≥0在x∈[-1，1]上恒成立，等价于f（x）_min≥k在[，2]上恒成立，借助（2）问可得答案；
点评：本题考查二次函数的性质、复合函数的单调性，利用导数求函数的最值等知识，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力．