Question

（1）求函数y=

x2-2x+1

x-2

  （x＜2）的最大值
（2）函数y=log_a^（x+3）（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，求

1

m

+

2

n

的最小值．

Answer 1

分析：（1）将函数y=

x2-2x+1

x-2

进行化简变形成y=-[（2-x）+

1

2-x

]+2，然后利用基本不等式即可求出所求，注意等号成立的条件；
（2）先根据对数函数的性质求出定点A的坐标，根据点A在直线mx+ny+1=0上，可得m，n的等量关系，利用“1”的代换，以及基本不等式可求出所求．

解答：解：（1）∵x＜2，
∴2-x＞0，
∴y=

x2-2x+1

x-2

=

(x-2)2+2(x-2)+1

x-2

=-[（2-x）+

1

2-x

]+2≤-2

(2-x)× 1 2-x

+2=0，
当且仅当2-x=

1

2-x

，即x=1时取等号，
∴函数y=

x2-2x+1

x-2

  （x＜2）的最大值为0；
（2）∵函数y=log_a^（x+3）（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，
∴A（-2，-1），
又∵点A在直线mx+ny+1=0上，
∴-2m-n+1=0，即2m+n=1，
又∵mn＞0，
∴

1

m

+

2

n

=

2m+n

m

+

4m+2n

n

=2+

n

m

+

4m

n

+2≥4+2•

n m • 4m n

=8，
当且仅当m=

1

4

，n=

1

2

时取等号，
∴

1

m

+

2

n

的最小值为8．

点评：本题考查了基本不等式在最值问题中的应用．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．属于中档题．