Question

设P是直线l：y=2x且在第一象限上的一点，点Q（2，2），则直线PQ与直线l及x轴在第一象限围成的三角形面积最小值为

 

．

Answer 1

分析：设出点P的坐标利用图形之间的关系表示出所求的三角形的面积是解决本题的关键．通过建立的函数类型选择合适的方法求出面积的最小值．

解答：解：设点P（x₀，2x₀）是直线l：y=2x且在第一象限上的一点，则x₀＞0，则直线PQ的方程为y-2=

2x0-2

x0-2

（x-2），
令y=0，得出直线PQ与x轴在第一象限的交点坐标（

x0

x0-1

，0），
进一步确定出x₀＞1，因此所求的三角形的面积为S=

1

2

•

x0

x0-1

•2x0=

x 2 0

x0-1

=

x 2 0 -2x0+1+2x0-2+1

x0-1

=(x0-1)+

1

x0-1

+2≥2+2=4，
当且仅当x0-1=

1

x0-1

，
即x₀=2（另一根不合题意，舍去）时取到等号，即所求的面积最小值为4．
故答案为：4．

点评：本题是函数与直线问题的小综合题，首先要建立起三角形面积与动点坐标之间的函数关系，根据函数的类型进行适当变形利用基本不等式求解所求的最值，体现了转化与化归的思想．