Question

设数列{a_n} 对任意n∈N^*和实数常数，有

an-2an+1

anan+1

=t-2，t∈R，a₁=

1

3

（1）若{

1-an

an

}是等比数列，求{a_n} 的通项公式；
（2）设{b_n}满足b_n=（1-a_n）a_n，其前n项和T_n，求证：Tn＞

2

3

•

2n-1

2n+1+1

．

Answer 1

分析：（1）由题设知

1

an+1

-1=2(

1

an

-1) +t•

1

a1

-1=2，再由{

1-an

an

}是等比数列，得an=

1

2n+1

．
（2）由b_n=（1-a_n）a_n得bn=(1-

1

2n+1

) •

1

2n+1

=

2n

(2n+1)2

＜

1

2n+1

-

1

2n+1+1

，由此入手能够进行证明．

解答：解：（1）由

an-2an+1

anan+1

=t-2，t∈R，a₁=

1

3

，
得

1

an+1

-1=2(

1

an

-1) +t•

1

a1

-1=2，
∵{

1-an

an

}是等比数列，
∴

1

an

-1=2n，
得an=

1

2n+1

．
（2）由b_n=（1-a_n）a_n得bn=(1-

1

2n+1

) •

1

2n+1

=

2n

(2n+1)2

＜

1

2n+1

-

1

2n+1+1

，
前n项和T_n=b₁+b₂+…+b_n
＜

1

3

-

1

2n+1+1

=

2

3

•

2n-1

2n+1+1

．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地选取公式．