Question

已知椭圆(a>b>0)经过点M(，1)，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点P(，0)，若A，B为已知椭圆上两动点，且满足，试问直线AB是否恒过定点，若恒过定点，请给出证明，并求出该定点的坐标；若不过，请说明理由．

Answer 1

(1)  (2) 直线经过定点

解析试题分析：(1) 椭圆(a>b>0)经过点M(，1) , 
且有 ，通过解方程可得从而得椭圆的标准方程.
(2) 设当直线与轴不垂直时，设直线的方程为
由 
另一方面：
 
通过以上两式就不难得到关于的等式，从而探究直线是否过定点；
至于直线AB斜率不存在的情况，只需对上面的定点进行检验即可.
试题解析：
解：(1)由题意得①
因为椭圆经过点，所以②
又③
由①②③解得
所以椭圆方程为.                              4分
(2)解：①当直线与轴不垂直时，设直线的方程为
代入，消去整理得            6分
由得（*）
设则
所以， 
=                 8分
得 

整理得 
从而 且满足（*）
所以直线的方程为                      10分
故直线经过定点                           2分
②当直线与轴垂直时，若直线为 ，此时点 、 的坐标分别为
 、，亦有                12分
综上，直线经过定点.                        13分
考点：1、椭圆的标准方程；2、向量的数量积；3、直线与椭圆的位置关系.