Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB₁⊥BC₁，AB=CC₁=1，BC=2．
（1）求证：A₁C₁⊥AB；
（2）求点B₁到平面ABC₁的距离．

Answer 1

分析：（1）欲证A₁C₁⊥AB，可先证A₁C₁⊥平面ABB₁，根据线面垂直的判定定理可知只需证AB₁⊥A₁C₁，A₁C₁⊥BB₁；
（2）由（1）知点B₁到平面ABC₁的距离是三棱锥B₁-ABC₁的高，求出S△ABC1，再利用换低公式和体积相等求出点B₁到平面ABC₁的距离．

解答：（1）证明：连接A₁B，则A₁B⊥AB₁．
又∵AB₁⊥BC₁，
∴AB₁⊥平面A₁BC₁．
∴AB₁⊥A₁C₁．
又∵A₁C₁⊥BB₁，
∴A₁C₁⊥平面ABB₁．
∴A₁C₁⊥AB．
（2）解：由（1）知AB⊥AC，∵AB⊥AC₁，
又∵AB=1，BC=2，
∴AC=

3

，AC₁=2．
∴S△ABC1=1．
设所求距离为d，
∴VB1-ABC1=VC1-ABB1．
∴

1

3

S_△ABC₁•d=

1

3

S△ABB1•A₁C₁．
∴

1

3

•1•d=

1

3

•

1

2

•

3

．
∴d=

3

2

．点B₁到平面ABC₁的距离d=

3

2

．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及点、线、面间的距离计算等有关知识，注意求点到面的距离可用体积相等和换底求解；属于中档题．