Question

给出下列四个命题
①命题“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x₀∈R，cosx₀≤0”
②若0＜a＜1，则方程x²+a^x-3=0只有一个实数根；
③对于任意实数x，有f（-x）=f（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0；
④一个矩形的面积为S，周长为l，则有序实数对（6，8）可作为（S，l）取得的一组实数对，其正确命题的序号是

①③

．（填所有正确的序号）

Answer 1

分析：①利用全称命题的否定是特称命题即可判断其正误；
②在同一坐标系中利用y=a^x（0＜a＜1）与y=3-x²的交点个数即可判断；
③利用偶函数在关于原点对称区间上的单调性即可判断其正误；
④依题意，可设该矩形的两边长为a，b，列式计算即可判断其正误；

解答：解：①命题“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x₀∈R，cosx₀≤0”正确；
②当0＜a＜l，y=a^x为减函数，与y=3-x²交点个数是两个，即0＜a＜1时，方程x²+a^x-3=0有两个实数根，故②错误；
③，由题意得，f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，故在（-∞，0）上单调递减，于是“当x＜0时，f′（x）＜0”正确；
④，设该矩形的两边长为a，b，则ab=6且2a+2b=8，
∴a²-4a+6=0，
∵△=16-24＜0，
∴方程a²-4a+6=0无解，故④错误；
故答案为：①③．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查命题间的关系，考查函数的零点与函数的性质，考查方程思想与转化思想的应用，属于中档题．