Question

已知f（x）=

1 x +x2 x∈(1，e) 1-x2 x∈[-1，1]

，则

∫

e  -1

f(x)dx=

 

．

Answer 1

考点：定积分

专题：导数的概念及应用

分析：根据的定积分的运算和定积分的几何意义，计算即可

解答： 解：

∫

e  -1

f(x)dx=

∫

1 -1

1-x2

dx+

∫

e 1

（

1

x

+x²）dx
因为

∫

1 -1

1-x2

dx几何意义是以原点为圆心以1为半径的圆的面积的二分之一，
故

∫

1 -1

1-x2

dx=

π

2

，
因为

∫

e 1

（

1

x

+x²）dx=（lnx+

1

3

x³）|

e 1

=lne+

1

3

e³-ln1-

1

3

=

2

3

+

e3

3

，
所以

∫

e  -1

f(x)dx=

∫

1 -1

1-x2

dx+

∫

e 1

（

1

x

+x²）dx=

π

2

+

2

3

+

e3

3

．
故答案为：

π

2

+

2

3

+

e3

3

．

点评：本题考查定积分的运算性质及微积分基本定理以及定积分的几何意义，熟记微积分基本定理是解决问题的关键．