Question

如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A₁，点B在l的射影为B₁，已知AB=2，AA₁=1，BB₁=，求：

（1）直线AB分别与平面α，β所成角的大小；
（2）二面角A₁-AB-B₁的大小。

Answer 1

解：（1）如图，连接A1B，AB1 ∵，∩=l，AA1⊥l，BB2⊥l， ∴AA1⊥β，BB1⊥α 则∠BAB1，∠ABA1分别是AB与α和β所成的角 Rt△BB1A中，BB1=，AB=2， ∴sin∠BAB1= ∴∠BAB1=45° Rt△AA1B中，AA1=1，AB=2， ∴sin∠ABA1= ∴∠ABA1=30° 故AB与平面α，β所成的角分别是45°，30°。
（2）∵BB1⊥α， ∴平面ABB1⊥α 在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E，则A1E⊥平面AB1B 过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F， 则由三垂线定理得A1F⊥AB， ∴∠A1FE就是所求二面角的平面角 在Rt△ABB1中，∠BAB1=45°， ∴AB1=B1B= ∴Rt△AA1B1中，AA1=A1B1=1， ∴， 在Rt△AA1B中， 由AA1·A1B=A1F·AB得 A1F= ∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE=， ∴二面角A-AB-B1的大小为arcsin。