Question

已知数列[a_n}满足：na_n+1=（n+2）a_n+n，（n∈N^*）且a₁=1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=（-1）ⁿ⁺¹(an)-

1

2

，数列{b_n}的前项和为T_n，求证：n≥2时，T_2n-1＜ln2且T_2n＞ln2．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：综合题

分析：（Ⅰ）由na_n+1=（n+2）a_n+n，（n∈N^*），得

an+1

(n+1)(n+2)

=

an

n(n+1)

+

1

(n+1)(n+2)

，（n∈N^*），令cn=

an

n(n+1)

由累加法求出an=n2，n∈N₊
（Ⅱ）易知：bn=(-1)n+1

1

n

，n∈N₊求出T_2n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，T2n-1=T2n+

1

2n

=

1

n

+

1

n+1

+…+

1

2n-1

利用导数先证不等式x＞0时，

x

x+1

＜ln(x+1)＜x

解答： 解：（Ⅰ）∵na_n+1=（n+2）a_n+n，（n∈N^*），
∴

an+1

(n+1)(n+2)

=

an

n(n+1)

+

1

(n+1)(n+2)

，（n∈N^*），
令cn=

an

n(n+1)

得，cn+1=cn+

1

n+1

-

1

n+2

，c1=

1

2

若n≥2，则c_n=（c_n-c_n-1）+（c_n-1-c_n-2）+…+（c₂-c₁）+c₁
=1-

1

n+1

=

n

n+1

当n=1时，c1=

1

2

也满足上式，故cn=

n

n+1

，n∈N+
所以 an=n2，n∈N₊…（6分）
（Ⅱ）易知：bn=(-1)n+1

1

n

，n∈N₊
T2n=1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n

=1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n

-2(

1

2

+

1

4

+

1

6

+…+

1

2n

)
=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

T2n-1=T2n+

1

2n

=

1

n

+

1

n+1

+…+

1

2n-1

…（8分）
先证不等式x＞0时，

x

x+1

＜ln(x+1)＜x
令f（x）=ln（x+1）-x（x＞0），则f′(x)=-

x

(x+1)2

＜0，(x＞0)
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，即f（x）＜0，
同理：令g(x)=ln(x+1)-

x

x+1

(x＞0)，则g′(x)=

x

(x+1)2

＞0，(x＞0)
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，即g（x）＞0，得证．
取x=

1

n

，得

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

，所以
T2n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＜ln

n+1

n

+ln

n+2

n+1

+…ln

2n

2n-1

=ln2
T2n-1=

1

n

+

1

n+1

+…+

1

2n-1

＞ln

n+1

n

+ln

n+2

n+1

+…ln

2n

2n-1

=ln2  …（14分）

点评：本题考查数列的综合运用，解题时要注意公式的合理运用．