Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，AB+CD=7．
（1）求椭圆的方程；
（2）求AB+CD的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意知，e=

c

a

=

1

2

，CD=7-2a，再由点(c，

7-4c

2

)在椭圆上，能求出椭圆的方程．
（2）当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在时，AB+CD=7；当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线AB的方程为y=k（x-1），直线CD的方程为y=-

1

k

(x-1)．由此能求出AB+CD=

12(k2+1)

3+4k2

+

12(k2+1)

3k2+4

=

84(k2+1)2

(3+4k2)(3k2+4)

，从而能求出AB+CD的取值范围．

解答： 解：（1）由题意知，e=

c

a

=

1

2

，CD=7-2a，
所以a²=4c²，b²=3c²，…2分
因为点(c，

7-4c

2

)在椭圆上，
即

c2

4c2

+

( 7-4c 2 )2

3c2

=1，
解得c=1．
所以椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…6分
（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，
由题意知AB+CD=7；…7分
②当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
且设直线AB的方程为y=k（x-1），
则直线CD的方程为y=-

1

k

(x-1)．
将直线AB的方程代入椭圆方程中，
并整理得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
所以x1=

4k2-6 k2+1

3+4k2

，x2=

4k2+6 k2+1

3+4k2

，
所以AB=

k2+1

|x1-x2|=

12(k2+1)

3+4k2

．…10分
同理，CD=

12( 1 k2 +1)

3+ 4 k2

=

12(k2+1)

3k2+4

．
所以AB+CD=

12(k2+1)

3+4k2

+

12(k2+1)

3k2+4

=

84(k2+1)2

(3+4k2)(3k2+4)

，…12分
令t=k²+1，则t＞1，3+4k²=4t-1，3k²+4=3t+1，
设f(t)=

(4t-1)(3t+1)

t2

=-

1

t2

+

1

t

+12=-(

1

t

-

1

2

)2+

49

4

，
因为t＞1，所以

1

t

∈(0，1)，
所以f(t)∈(12，

49

4

]，
所以AB+CD=

84

f(t)

∈[

48

7

，7)．
综合①与②可知，AB+CD的取值范围是[

48

7

，7]． …16分．

点评：本题考查椭圆的方程的求法，考查两条线段和的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．