Question

如图，在圆O：x²+y²=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．设M为线段PD的中点．
（Ⅰ）当点P在圆O上运动时，求点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）若圆O在点P处的切线与x轴交于点N，试判断直线MN与轨迹E的位置关系．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设M（x，y），则P（x，2y）．由点P在圆x2 +y2=4上，能求出点M的轨迹E的方程．
（Ⅱ）当直线PN的斜率不存在时，直线MN与轨迹E相切；当直线PN的斜率存在时，设PN的方程为y=kx+t，由直线PN与圆O相切，得到t²-4k²-4=0，直线MN的方程为y=

1

2

(kx+t)，由

y= 1 2 (kx+t) x2 4 +y2=1

，得（1+k²）x²²-4=0，由此利用根的判别式得到直线MN与轨迹E相切．

解答： 满分（13分）．
解：（Ⅰ）设M（x，y），则P（x，2y）．
∵点P在圆x2 +y2=4上，∴x2 +(2y)2=4，
∴点M的轨迹E的方程为

x2

4

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）（i） 当直线PN的斜率不存在时，
直线MN的方程为x=2或x=-2．与轨迹E相切；
（ii）当直线PN的斜率存在时，设PN的方程为y=kx+t，k≠0，
∵直线PN与圆O相切，∴

|t|

k2+1

=2，即t²-4k²-4=0．…（7分）
又直线MN的斜率等于

k

2

，点N的坐标为（-

t

k

，0）．
∴直线MN的方程为y=

k

2

(x+

t

k

)，即y=

1

2

(kx+t)． …（9分）
由

y= 1 2 (kx+t) x2 4 +y2=1

，得（1+k²）x²²-4=0．
∵△=（2kt）²-4（1+k²）（t²-4）
=4k²（t²-4k²-4）=0．
故直线MN与轨迹E相切．
综上（i）（ii）知，直线MN与轨迹E相切． …（13分）

点评：本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．