Question

已知向量m=(1+cosB，sinB)与向量n=(0，1)所成的角为，其中A、B、C为△ABC的三个内角．

(1)求角B的大小；

(2)若AC=，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

答案：解法一：(1)∵m=(1+cosB，sinB)与n=(0，1)所成的角为

∴m与向量p=(1，0)所成的角为

∴，即tan

而B∈(0，π)，∴∈(0，)，∴，∴B=．

(2)令AB=c，BC=a，AC=b

∵B=，∴b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=()²，∵a，c＞0．

∴a²+c²≥，ac≤()²(当且仅当n=c时等号成立)

∴12=a²+c²-ac≥

∴(a+c)²≤48，∴a+c≤，

∴a+b+c≤(当且仅当a=c时取等号)

故△ABC的周长的最大值为.

解法二：(1)cos＜m，n＞=cos

∴，即2cos2B+cosB-1=0，cosB=或cosB=-1(舍)

而B∈(0，π)，∴B=．

(2)令AB=c，BC=a，AC=b，△ABC的周长为l，则l=a+c+

而a=b·，c=b·

=

=

=

∵A∈(0，)，∴A()

当且仅当A=时，l_max=.