Question

13、从1，2，…，30这30个自然数中，每次取不同的三个数，使这三个数的和是3的倍数的取法有多少种？

Answer 1

分析：把所给的30个数字根据被3除的余数分类，包括余数是1的，余数是2的，和正好能够整除的，按照三个不同的集合，取数字包括四种情况，根据分类加法原理得到结果．

解答：解：设A={1，4，7，10，…，28}，B={2，5，8，11，…，29}，
C={3，6，9，…，30}组成三类数集，
有以下四类符合题意：
①A，B，C中各取一个数，有C₁₀¹C₁₀¹C₁₀¹种；
②仅在A中取3个数，有C₁₀³种；
③仅在B中取3个数，有C₁₀³种；
④仅在C中取3个数，有C₁₀³种．
由加法原理得共有C₁₀¹•C₁₀¹•C₁₀¹+3C₁₀³=1360种．
即共有1360个数字满足三个数的和是3的倍数，

点评：按元素的性质分类是处理带限制条件的组合问题的常用方法，对于某几个数的和能被某数整除一类的问题，通常是将整数分类，凡余数相同者归同一类．