Question

设不等式组

x＞0 y＞0 y≤-nx+3n

所表示的平面区域为D_n，记D_n内的格点（格点即横坐标和纵坐标皆为整数的点）的个数为f（n）（n∈N*）．
（1）求f（1）、f（2）的值及f（n）的表达式；
（2）设b_n=2ⁿf（n），S_n为{b_n}的前n项和，求S_n；
（3）记Tn=

f(n)f(n+1)

2n

，若对于一切正整数n，总有T_n≤m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

画出

x＞0 y＞0 y≤-nx+3n

的可行域



（1）f（1）=2+1=3
f（2）=3+2+1=6
当x=1时，y=2n，可取格点2n个；当x=2时，y=n，可取格点n个
∴f（n）=3n
（2）由题意知：b_n=3n•2ⁿ
S_n=3•2¹+6•2²+9•2³+…+3（n-1）•2^n-1+3n•2ⁿ
∴2S_n=3•2²+6•2³+…+3（n-1）•2ⁿ+3n•2ⁿ⁺¹
∴-S_n=3•2¹+3•2²+3•2³+…3•2ⁿ-3n•2ⁿ⁺¹
=3（2+2²+…+2ⁿ）-3n•2ⁿ⁺¹
=3•

2-2n+1

1-2

-3n2n+1
=3（2ⁿ⁺¹-2）-3nⁿ⁺¹
∴-S_n=（3-3n）2ⁿ⁺¹-6
S_n=6+（3n-3）2ⁿ⁺¹
（3）Tn=

f(n)f(n+1)

2n

=

3n(3n+3)

2n

∵ Tn+1 Tn = (3n+3)(3n+6) 2n+1 3n(3n+3) 2n = n+2 2n 当n=1时， n+2 2n ＞1 当n=2时， n+2 2n =1 当n≥3时， n+2 2n ＜1

∴T₁＜T₂=T₃＞T₄＞…＞T_n
故T_n的最大值是T₂=T₃=

27

2

∴m≥

27

2

．