Question

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图、侧视图均为直角三角形，俯视图为直角梯形。

（1）M为AC中点，证明：BM⊥平面PAC：
（2）设直线PD与平面PAC所成的角的正弦值为，求过P-ACD的外接球的体积。

Answer 1

解：（1）证明：由三视图可知PA⊥平面ABCD， 即BM⊥PA， 又AB=BC，且M是AC的中点， 即BM⊥AC， 所以BM⊥平面PAC。
（2）连接BM延长交AD于E，即E为AD的中点， 又取PA中点为F，连接MF，EF∥PD， 即PD与平面PAC所成的角，转化为EF与平面PAC 所成的角， ∠MFE为EF与平面PAC所成的角，， 又AC⊥CD，PA⊥CD， 所以PC⊥CD 过P-ACD的外接球的球心为PD的中点， 外接球的半径 外接球体积为。