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椭圆上任一点P到两焦点的距离的和为6,离心率为,A、B分别是椭圆的左右顶点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设C(x,y)(0<x<a)为椭圆上一动点,D为C关于y轴的对称点,四边形ABCD的面积为S(x),设f(x)=,求函数f(x)的最大值.
【答案】分析:(1)利用P到两焦点的距离的和为6,离心率为,求出几何量,从而可求椭圆的标准方程;
(2)确定四边形ABCD的面积为S(x),可得f(x)=,利用导数知识,可求函数f(x)的最大值.
解答:解:(1)依题意,P到两焦点的距离的和为6,离心率为
∴2a=6,e==
∴a=3,c=2
=1
∴椭圆标准方程为
(2)依题意,点D(-x,y)(0<x<3)
由点C在椭圆上得,且S(x)=
∴f(x)==(x+3)()=(0<x<3)
∴f′(x)=-(x-1)(x+3)
令f′(x)>0,则-3<x<1,
∵0<x<3,∴0<x<1,∴f(x)在(0,1)上单调递增;
令f′(x)<0,则x<-3或x>1,
∵0<x<3,∴1<x<3,∴f(x)在(1,3)上单调递减,
∴f(x)在x=1处取得唯一的极大值,同时也是最大值,
∴f(x)max=f(1)=
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查函数解析式的确定,考查导数知识的运用,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上任一点P到两焦点的距离的和为6,离心率为
2
2
3
,A、B分别是椭圆的左右顶点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设C(x,y)(0<x<a)为椭圆上一动点,D为C关于y轴的对称点,四边形ABCD的面积为S(x),设f(x)=
[S(x)]2
x+3
,求函数f(x)的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10的椭圆标准方程为
y2
25
+
x2
9
=1
y2
25
+
x2
9
=1

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科目:高中数学 来源:学习周报 数学 人教课标高二版(A选修1-1) 2009-2010学年 第26期 总第182期 人教课标版(A选修1-1) 题型:022

下列有关圆锥曲线的命题,其中正确的是________.

①双曲线=1的离心率为

②抛物线y2=-6x的焦点坐标是(-3,0);

③椭圆x2+9y2=9上任一点P到两焦点的距离之和为6.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上任一点P到两焦点的距离的和为6,离心率为
2
2
3
,A、B分别是椭圆的左右顶点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设C(x,y)(0<x<a)为椭圆上一动点,D为C关于y轴的对称点,四边形ABCD的面积为S(x),设f(x)=
[S(x)]2
x+3
,求函数f(x)的最大值.

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