Question

（山东卷理）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.

（Ⅰ）证明：AE⊥PD;

（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E—AF—C的余弦值.

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．

因为为的中点，所以．

又，因此．

因为平面，平面，所以．

而平面，平面且，

所以平面．又平面，所以．

（Ⅱ）解：设，为上任意一点，连接．

由（Ⅰ）知平面，

则为与平面所成的角．

在中，，

所以当最短时，最大，

即当时，最大．

此时，

因此．又，所以，所以．

解法一：因为平面，平面，所以平面平面．

过作于，则平面，

过作于，连接，则为二面角的平面角，

在中，，，

又是的中点，在中，，

又，

在中，，即所求二面角的余弦值为．

解法二：由（Ⅰ）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以

，

，

所以．

设平面的一法向量为，

则因此取，则，

因为，，，所以平面，

故为平面的一法向量．

又，所以．

因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为．