Question

（2006•海淀区一模）若球O的半径长为13，圆O₁为它的一个截面，且OO₁=12，则圆O₁的半径长为

10

；点A、B为圆O₁上两定点，AB=10，若C为圆O₁上的动点，则△ABC的最大面积为

25

．

Answer 1

分析：由球的截面圆性质，建立平方关系可算出圆O₁的半径长，从而得到AB=10刚好是AB为圆O₁的直径，得到AC⊥BC，设∠CAB=α，利用三角函数的方法算出△ABC的面积S=

1

2

×AC×BC=25sin2α，可得它的最大面积为25．

解答：解：连结OO₁，则OO₁与截面圆O₁垂直
∵球O的半径R=13，
∴截面圆O₁的半径r=

R2-OO12

=

132-122

=5
∵点A、B为圆O₁上两定点，AB=10
∴AB为圆O₁的直径，
若C为圆O₁上的动点，得AC⊥BC．设∠CAB=α，则
AC=ABcosα=10cosα，且BC=ABsinα=10sinα
∴△ABC的面积S=

1

2

×AC×BC=50sinαcosα=25sin2α
当且仅当α=

π

4

时，△ABC的最大面积为25
故答案为：10，25

点评：本题着重考查了球的截面圆性质、勾股定理、圆的直径的性质和利用解直角三角形求三角形面积的最大值等知识，属于中档题．