解:(1)∵f ′(x)=x
2+2ax-b ,
∴ 由题意可知:f ′(1)=-4且f (1)= -
,
∴
解得:
…………………………3分
∴ f (x)=
x
3-x
2-3x。
f ′(x)=x
2-2x-3=(x+1)(x-3).
令f ′(x)=0,得x
1=-1,x
2=3,
由此可知:
x
| (-∞,-1)
| -1
| (-1, 3)
| 3
| (3, +∞)
|
f ’(x)
| +
| 0
| -
| 0
| +
|
f (x)
| ↗
| f (x)极大5/3
| ↘
| f (x) 极小
| ↗
|
∴ 当x=-1时, f (x)取极大值
. …………………………6分
(2)∵y="f" (x)在区间[-1,2]上是单调减函数,
∴f ′(x)=x
2+2ax-b≤0在区间[-1,2]上恒成立.
根据二次函数图象可知f ′(-1)≤0且f ′(2)≤0,即:
也即
…………………9分
作出不等式组表示的平面区域如图:
当直线z=a+b经过交点P(-
, 2)时,
z=a+b取得最小值z=-
+2=
,
∴z=a+b取得最小值为
……………………12分