Question

（1）已知某圆的极坐标方程为：ρ2-42ρcos（θ-π4）+6=0．将极坐标方程化为普通方程；并选择恰当的参数写出它的参数方程．
（2）已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e₁=

.

1 1

.

，且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成
（-2，4）．求矩阵M的另一个特征值及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系．

Answer 1

分析：（1）由题设知x²+y²-4x-4y+6=0，从而得到圆的标准方程和参数方程．
（2）设M=

a b c d

，则

a b c d

1 1

=8

1 1

=

8 8

，故

a+b=8 c+d=8

a b c d

-1 2

=

-2 4

，由此得到M=

6 2 4 4

，从而得到矩阵M的另一个特征值及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系．

解答：解：（1）∵ρ²-4ρ（cosθ+sinθ）+6=0，
∴x²+y²-4（x+y）+6=0；即x²+y²-4x-4y+6=0（4分）
圆的标准方程为：（x-2）²+（y-2）²=2，
∴参数方程为

x=2+ 2 cosα y=2+ 2 sinα

（α为参数） （6分）
（2）设M=

a b c d

，则

a b c d

1 1

=8

1 1

=

8 8

，
故

a+b=8 c+d=8

a b c d

-1 2

=

-2 4

，
故

-a+2b=-2 -c+2d=4

联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，
故M=

6 2 4 4

．（10分）
∴M的特征多项式为f（λ）=（λ-6）（λ-4）-8=λ²-10λ+16，
∴另一个特征值为λ=2（12分）
设M的另一个特征向量是e2=

x y

，
则Me2=

6x+2y 4x+4y

=2

x y

，
解得：2x+y=0． （14分）

点评：本题考查二阶矩阵和圆的极坐标方程、标准方程和参数方程，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．