在A.B.C.D四小题中只能选做2题.每题10分.共计20分．A.如图.AB为⊙O的直径.BC切⊙O于B.AC交⊙O于P.CE=BE.E在BC上．求证:PE是⊙O的切线．B.设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍.纵坐标伸长到3倍的伸压变换．(1)求矩阵M的特征值及相应的特征向量,(2)求逆矩阵M-1以及椭圆x24+y29=1在M-1的作用下的新曲线的方程� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．
A、如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上．求证：PE是⊙O的切线．
B、设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
（1）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（2）求逆矩阵M^-1以及椭圆

=1在M^-1的作用下的新曲线的方程．
C、已知某圆的极坐标方程为：ρ2-4

ρcos(θ-

)+6=0．
（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；并选择恰当的参数写出它的参数方程；
（Ⅱ）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．
D、若关于x的不等式|x+2|+|x-1|≥a的解集为R，求实数a的取值范围．

分析：本题考查矩阵的变换中的伸压变换，横坐标、纵坐标拉伸和压缩变换与矩阵中数的对应关系；逆矩阵变换公式

解答：

解：A、证明：如图，连接OP、BP．
∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90°．
又∵CE=BE，∴EP=EB．∴∠3=∠1．
∵OP=OB，∴∠4=∠2．
∵BC切⊙O于点B，∴∠1+∠2=90°．
∠3+∠4=90°．
又∵OP为⊙O的半径，
∴PE是⊙O的切线．
B、（1）由条件得矩阵M=

2	0
0	3

，
它的特征值为2和3，对应的特征向量为

及

；
（2）M-1=

，
椭圆

=1在M^-1的作用下的新曲线的方程为x²+y²=1．
C、解：（Ⅰ）x²+y²-4x-4y+6=0；

x=2+

cosα

y=2+

sinα

（α为参数）

（Ⅱ）x+y=4+2sin（α+

）最大值6，最小值2．

D、解：a小于|x+2|+|x-1|的最小值即可，
而t=|x+2|+|x-1|≥|（x+2）-（x-1）|=3，
t_min=3，
只要a≤3．

点评：矩阵变换的几种形式，特征值与特征向量的对应关系．

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在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．
B．已知二阶矩阵A=

2	a
b	0

属于特征值-1的一个特征向量为

-3

，求矩阵A的逆矩阵．

C．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，直线l的参数方程为

x=-

y=1+t

（t为参数，t∈{R}）．试求曲线C上点M到直线l的距离的最大值．
D．（1）设x是正数，求证：（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³；
（2）若x∈R，不等式（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³是否仍然成立？如果仍成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．

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如图，延长⊙O的半径OA到B，使OA=AB，DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线，垂足为点C．
求证：∠ACB=

∠OAC．
B选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=

1	1
2	1

，向量

．求向量

，使得A²

．
C选修4-3：坐标系与参数方程
已知椭圆C的极坐标方程为ρ²=

3cos2θ+4sin2θ

，焦距为2，求实数a的值．
D选修4-4：不等式选讲
已知函数f（x）=（x-a）²+（x-b）²+（x-c）²+

(a+b+c)2

（a，b．c为实数）的最小值为m，若a-b+2c=3，求m的最小值．

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（选做题）在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过
N点的切线交CA的延长线于P．
（1）求证：PM²=PA•PC；
（2）若⊙O的半径为2

，OA=

OM，求MN的长．
B．选修4-2：矩阵与变换
曲线x²+4xy+2y²=1在二阶矩阵M=

1	a
b	1

的作用下变换为曲线x²-2y²=1，求实数a，b的值；
C．选修4-4：坐标系与参数方程
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)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为

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设a，b，c均为正实数．
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（2）求证：

≥

b+c

c+a

a+b

．

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如图，PA切⊙O于点A，D为PA的中点，过点D引割线交⊙O于B、C两点．求证：∠DPB=∠DCP．
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，试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的曲线方程．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=

cos(θ+

)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为

x=1+

y=-1-

（t为参数），求直线l被圆C所截得的弦长．
D．选修4-5：不等式选讲
解不等式：|2x+1|-|x-4|＜2．

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A、（选修4-1：几何证明选讲）
如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于E，求证：AB²=AE•AD
B、（选修4-2：矩形与变换）
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1	a
b	2

所对应的变换将直线3x-y=1变换成x+2y=1，求a，b的值．
C、（选修4-4，：坐标系与参数方程）
设M、N分别是曲线ρ+2sinθ=0和ρsin（θ+

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上的动点，判断两曲线的位置关系并求M、N间的最小距离．
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设a，b，c是不完全相等的正数，求证：a+b+c＞

．

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