Question

设P(x₀,y₀)是椭圆(a＞b＞0)上任意一点，F₁为其左焦点.

(1)求|PF₁|的最小值和最大值;

(2)在椭圆上求一点P,使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直.

Answer 1

解：(1)对应于F₁的准线方程为x=-,根据椭圆的第二定义:

∴|PF₁|=a+ex₀.

又-a≤x₀≤a,

∴当x₀=-a时,|PF₁|_min=a+(-a)=a-c;

当x₀=a时,|PF₁|_max=a+·a=a+c.

(2)∵a²=25,b²=5,

∴c²=20,e²=.

∵|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²,

∴(a+ex₀)²+(a-ex₀)²=4c².

将数据代入得25+x₀²=40.

∴x₀=±.代入椭圆方程得P点的坐标为

绿色通道：

|PF₁|、|PF₂|都是椭圆上的点到焦点的距离,称作焦半径,而|PF₁|=a+ex₀,|PF₂|=a-ex₀称作焦半径公式.当椭圆的焦点在y轴上时,仿照上面的推导,焦半径公式成为|PF₁|=a+ey₁,|PF₂|=a-ey₁.

椭圆上距焦点最近或最远的点是长轴的端点.