Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PBC⊥底面ABCD，且PB=PC=

5

．设面PAD与面PBC的交线为l，则二面角A-l-B的大小为

 

．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：如图所示，取BC边的中点O，连接OP，由于PB=PC=

5

．可得PO⊥BC．由于平面PBC⊥底面ABCD，可得PO⊥平面ABCD．以OB为x轴，OP为z轴建立空间直角坐标系O-xyz．分别求出两个平面的法向量及其夹角即可．

解答： 解：如图所示，取BC边的中点O，连接OP，
∵PB=PC=

5

．
∴PO⊥BC，
∵平面PBC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD．
以OB为x轴，OP为z轴建立空间直角坐标系O-xyz．
∵底面ABCD是边长为2的正方形，
则P（0，0，2），A（1，-2，0），D（-1，-2，0）．

AD

=（-2，0，0），

PA

=（1，-2，-2）．
取平面PBC的法向量

m

=(0，1，0)．
设平面PAD的法向量为

n

=（x，y，z），则

n • AD =-2x=0 n • PA =x-2y-2z=0

，取y=1，则x=0，z=-1．
∴

n

=（0，1，-1）．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

1

2

=

2

2

，
∴＜

m

，

n

＞=45°．
由图可知：二面角A-l-B为锐角，
因此二面角A-l-B的大小为45°．
故答案为：45°．

点评：本题考查了利用两个平面的法向量的夹角求二面角的方法、线面面面垂直的判定与性质定理，考查了空间想象能力，考查了推理能力和计算能力，属于难题．