已知数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,对每一个k∈N*,在ak与ak+1之间插入2k-1个2,得到新数列{bn}.设Sn,Tn 分别是数列{bn}和数列{an}的前n项和.
(1)求数列{bn}的前6项和S6;
(2)a10是数列{bn}的第几项;
(3)若am是数列{bn}的第f(m)项,试比较Sf(m)与2Tm的大小,并说明理由.
【答案】
分析:(1)数列{b
n}中前6项依次为1,2,3,2,2,5,所以可求数列{b
n}的前6项和;
(2)因为在数列{bn}中,对每一个k∈N
*,在a
k与a
k+1之间插入2
k-1个2,所以a
10在数列{b
n}中的项数为:10+1+2+4+…+2
8 故问题得解;
(3)S
f(m)=2
m+m
2-2又T
m=1+3+5+…+(2m-1)=m
2,要比较S
f(m)与2T
m的大小,作差,再进行讨论即可.
解答:解:(1)∵数列{b
n}中前6项依次为1,2,3,2,2,5,∴数列{b
n}的前6项和S
6为1+2+3+2+2+5=15
(2)∵数列{b
n}中,对每一个k∈N
*,在a
k与a
k+1之间插入2
k-1个2,
∴a
10在数列{b
n}中的项数为10+1+2+4+…+2
8=521
即a
10是数列{b
n}的第521项;
(3)a
n=2n-1,在数列{b
n}中,a
n及其前面所有项的和为1+3+…+(2m-1)+2+4+…+2
m-1=2
m+m
2-2
即S
f(m)=2
m+m
2-2又T
m=1+3+5+…+(2m-1)=m
2∴S
f(m)-2T
m=(2
m+m
2-2)-2m
2=2
m-(m
2+2)…(10分)
当m=1时,2
m=2,m
2+2=3,故2
m<m
2+2;
当m=2时,2
m=4,m
2+2=6,故2
m<m
2+2;
当m=3时,2
m=8,m
2+2=11,故2
m<m
2+2;
当m=4时,2
m=16,m
2+2=18,故2
m<m
2+2; …(12分)
当
因而当m=1,2,3,4时,S
f(m)<2T
m;
当m≥5时且m∈N
*时,S
f(m)>2T
m…(14分)
点评:本题以等差数列为载体,考查新数列的理解.解决第(3)问的关键在于求出a
n及其前面所有项之和的表达式,再进行分类讨论,有一定的难度.