Question

设f（x）=是定义在R上的函数．
（1）f（x）可能是奇函数吗？
（2）若f（x）是偶函数，试研究其单调性．

Answer 1

【答案】分析：本题主要考查函数的奇偶性和单调性；判断函数的奇偶性主要根据定义，先验证定义域关于原点对称，再判断f（-x）与f（x）的关系；判断函数的单调性则一般用定义，作差法．
解答：解：（1）假设f（x）是奇函数，由于定义域为R，
∴f（-x）=-f（x），
即+=-，
整理得（e^x+e^-x）=0，
即a+=0，即a²+1=0，显然无解．
∴f（x）不可能是奇函数．
（2）因为f（x）是偶函数，所以f（-x）=f（x），
即+=，
整理得（e^x-e^-x）=0，
又∵对任意x∈R都成立
∴有a-=0，得a=±1．
当a=1时，f（x）=e^-x+e^x，以下讨论其单调性，
任取x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=+--=（-）（1-）＞0，
其中、＞0，-＜0，
当•=＞0时，即x₁+x₂＞0时，f（x₁）＜f（x₂），f（x）为增函数，
此时需要x₁+x₂＞0，即增区间为[0，+∞），反之（-∞，0]为减区间．
当a=-1时，同理可得f（x）在（-∞，0]上是增函数，在[0，+∞]上是减函数．
点评：判断函数的奇偶性与单调性也是高考考查的重点内容，一般作为简单题目出现．