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设f(x)是定义在集合D上的函数,若对集合D中的任意两数x1,x2恒有f(
1
4
x1+
3
4
x2)<
1
4
f(x1)+
3
4
f(x2)
成立,则f(x)是定义在D上的β函数.
(1)试判断f(x)=x2是否是其定义域上的β函数?
(2)设f(x)是定义在R上的奇函数,求证:f(x)不是定义在R上的β函数.
(3)设f(x)是定义在集合D上的函数,若对任意实数α∈[0,1]以及集合D中的任意两数x1,x2恒有f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2),则称f(x)是定义在D上的α-β函数.已知f(x)是定义在R上的α-β函数,m是给定的正整数,设an=f(n),n=1,2,3…m且a0=0,am=2m,记∫=a1+a2+a3+…+am,对任意满足条件的函数f(x),求∫的最大值.
分析:(1)根据β函数的定义,对集合D中的任意两数x1,x2恒有f(
1
4
x1+
3
4
x2)<
1
4
f(x1)+
3
4
f(x2)
成立,可以用作差法证明f(x)=x2是否是其定义域上的β函数;
(2)利用特殊值发进行判断,只要有一个点不满足即可;
(3)对任意0≤n≤m,取x1=m,x2=0,α=
n
m
∈[0,1]利用α-β函数的概念求得an=2n,从而转化为等差数列的求和问题;
解答:(1)解:∵f(
1
4
x1+
3
4
x2)-[
1
4
f(x1)+
3
4
f(x2)]
=(
1
4
x1+
3
4
x2)2-(
1
4
x12+
3
4
x22)
=-
3
16
x12-
7
16
x22+
3
8
x1x2

=-
3
16
(x1-x2)2-
5
8
x22
<0
∴对定义域中的任意两数x1,x2恒有f(
1
4
x1+
3
4
x2)<
1
4
f(x1)+
3
4
f(x2)
成立,
∴f(x)=x2是其定义域上的β函数;
(2)证明:∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0
∴x1=x2=0时,f(
1
4
×0+
3
4
×0)=
1
4
f(0)+
3
4
f(0)

∴f(x)不是定义在R上的β函数.
(3)(Ⅱ) 对任意0≤n≤m,取x1=m,x2=0,α=
n
m
∈[0,1],
∵f(x)是R上的α-β函数,an=f(n),且a0=0,am=2m,
∴an=f(n)=f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2)=
n
m
×2m=2n;
那么∫=a1+a2+…+am≤2×(1+2+…+m)=m2+m.
可知f(x)=2x是α-β函数,且使得an=2n(n=0,1,2,…,m)都成立,此时∫=m2+m.
综上所述,∫的最大值为m2+m.
点评:本题考查函数的概念与最值及数列的求和,难点在于通过对α-β函数的理解转化为数列求和问题,属于难题.
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f(x)=x2+x+1

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x+1
)>
x-1
f(
x2-1
)
的解集为
{x|1≤x<2}
{x|1≤x<2}

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