Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，在（-∞，0）上有xf′（x）+f（x）＜0且f（-2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为

 

．

Answer 1

分析：由题意构造函数g（x）=xf （x），再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，由函数f（x）的奇偶性得到函数g（x）的奇偶性，由f（-2）=0得g（2）=0、还有g（0）=0，再通过奇偶性进行转化，利用单调性求出不等式得解集．

解答：解：设g（x）=xf（x），
则g′（x）=[xf（x）]′=x′f（x）+xf′（x）=xf′（x）+f（x）＜0，
∴函数g（x）在区间（-∞，0）上是减函数，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴g（x）=xf（x）是R上的偶函数，
∴函数g（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
∵f（-2）=0，
∴f（2）=0；
即g（2）=0且g（0）=0f（0）=0，
∴xf（x）＜0化为g（x）＜0，
∵对于偶函数g（x），有g（-x）=g（x）=g（|x|），
故不等式为g（|x|）＜g（2），
∵函数g（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
∴|x|＜2且x≠0，解得-2＜x＜2且x≠0，
故所求的解集为{x|-2＜x＜2且x≠0}．
故答案为：{x|-2＜x＜2且x≠0}．

点评：本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化，注意函数值为零的自变量的取值．