Question

【选修4--5；不等式选讲】
设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：
（Ⅰ）ab+bc+ca≤

1

3

（Ⅱ）

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，由a+b+c=1⇒（a+b+c）²=1⇒a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=1，利用基本不等式可得3（ab+bc+ca）≤1，从而得证；
（Ⅱ）利用基本不等式可证得：

a2

b

+b≥2a，

b2

c

+c≥2b，

c2

a

+a≥2c，三式累加即可证得结论．

解答：证明：（Ⅰ）由a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca得：
a²+b²+c²≥ab+bc+ca，
由题设得（a+b+c）²=1，即a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=1，
所以3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤

1

3

．
（Ⅱ）因为

a2

b

+b≥2a，

b2

c

+c≥2b，

c2

a

+a≥2c，
故

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

+（a+b+c）≥2（a+b+c），即

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥a+b+c．
所以

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥1．

点评：本题考查不等式的证明，突出考查基本不等式与综合法的应用，考查推理论证能力，属于中档题．