Question

1．已知数列{a_n}满足：a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1-a_n=p•3^n-1-nq，n∈N^*，p，q∈R．
（1）若q=0，且数列{a_n}为等比数列，求p的值；
（2）若p=1，且a₄为数列{a_n}的最小项，求q的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把q=0代入数列递推式，求出a₂，a₃的值，由${{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{3}$求得p的值，验证数列为等比数列得答案；
（2）把p=1代入数列递推式，a₂，a₃，a₄，a₅的值，由a₁≥a₄，a₂≥a₄，a₃≥a₄，解得q≥3；再由a_n+1-a_n=3^n-1-nq＞0在n≥4时成立可得q的取值范围．

解答 解：（1）当q=0时，a_n+1-a_n=p•3^n-1-nq=p•3^n-1，
∵a₁=$\frac{1}{2}$，∴${a}_{2}={a}_{1}+p•{3}^{n-1}=\frac{1}{2}+p$，a₃=a₂+3p=$\frac{1}{2}+4p$，
由数列{a_n}为等比数列，得${{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{3}$，
即$（\frac{1}{2}+p）^{2}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2}+4p）$，解得：p=0或p=1．
若p=0，则a_n+1-a_n=0，数列为等比数列；
若p=1，则a_n+1-a_n=3^n-1，利用累加法求得${a}_{n}=\frac{{3}^{n-1}}{2}$，数列为等比数列．
∴p=0或p=1；
（2）由p=1，得a_n+1-a_n=3^n-1-nq，
又a₁=$\frac{1}{2}$，∴${a}_{2}=\frac{1}{2}+1-q=\frac{3}{2}-q$，${a}_{3}={a}_{2}+3-2q=\frac{9}{2}-3q$，${a}_{4}={a}_{3}+9-3q=\frac{27}{2}-6q$．
由a₁≥a₄，a₂≥a₄，a₃≥a₄，解得：q≥3；
又a_n+1-a_n=3^n-1-nq≥0对于任意的n≥4恒成立，
∴$q≤\frac{{3}^{n-1}}{n}$在n≥4时恒成立，
求导可知，f（x）=$\frac{{3}^{x-1}}{x}$在x≥4时为增函数，
∴$q≤\frac{27}{4}$．
∴3$≤q≤\frac{27}{4}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，考查逻辑推理能力和计算能力，是中档题．