Question

11．如图，三棱柱CB=AC=CC₁，CB⊥AC，E，F分别是A₁B，B₁C₁的中点，AA₁⊥底面ABC．
（1）求证：B₁C⊥平面A₁BC₁；
（2）求证：EF∥平面ACC₁A₁．

Answer 1

分析 （1）以A为原点建立空间直角坐标系C-xyz，利用向量法能证明B₁C⊥BC₁，B₁C⊥BA₁，即可证明B₁C⊥平面A₁BC₁．
（2）由（1）可得：$\overrightarrow{EF}$=（0，-1，1），平面ACC₁A₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），利用$\overrightarrow{EF}$•$\overrightarrow{n}$=0，即可证明EF∥平面ACC₁A₁．

解答 证明：（1）如图，以C为原点，CB，CA，CC₁为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系A-xyz，
设AC=2，则由CB=AC=CC₁，得C（0，0，0），B（2，0，0），C₁（0，0，2），A₁（0，2，2），B₁（2，0，2），（6分）
因为E，F分别是A₁B，B₁C₁的中点，
所以E（1，1，1），F（1，0，2）．（7分）
所以$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-2，0，-2），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（-2，2，2），
因为：$\overrightarrow{{B}_{1}C}$•$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-2，0，-2）•（-2，0，2）=0，
所以：B₁C⊥BC₁，
因为：$\overrightarrow{{B}_{1}C}$•$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（-2，0，-2）•（-2，2，2）=0，
所以：B₁C⊥BA₁，
又A₁B∩C₁B=B，
所以B₁C⊥平面A₁BC₁．（9分）
（2）由（1）可得：$\overrightarrow{EF}$=（0，-1，1），
由题意可得平面ACC₁A₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
可得：$\overrightarrow{EF}$•$\overrightarrow{n}$=（0，-1，1）•（1，0，0）=0，
可得：EF∥平面ACC₁A₁．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．