Question

如图(1)所示，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=4，M为AA₁的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC₁到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC₁的交点为N.求：

            (1)

(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；

(2)PC和NC的长；

(3)平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)的大小(用反三角函数表示).

Answer 1

解析:(1)正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为.

(2)如图(2)所示，将侧面BB₁C₁C绕棱CC₁旋转120°使其与侧面AA₁C₁C在同一平面上，点P运动到点P₁的位置，连结MP₁，则MP₁就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC₁到点M的最短路线.

                  (2)

设PC=x，则P₁C=x,

在Rt△MAP₁中，由勾股定理得(3+x)²+2²=29,求得x=2.

∴PC=P₁C=2.

∵,

∴NC=.

(3)如图(3)所示，连结PP₁.

            (3)

则PP₁就是平面NMP与平面ABC的交线.

作NH⊥PP₁于H，又CC₁⊥平面ABC，连结CH.

由三垂线定理得CH⊥PP₁,

∴∠NHC就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角(锐角).

在Rt△PHC中，

∵∠PCH=∠PCP₁=60°，

∴CH==1.

在Rt△NCH中，

tan∠NHC=.

故平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)的大小为arctan.