Question

9．设函数f（x）=2ln（x-1）-（x-1）²
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）+x²-3x-a=0在区间[2，4]内恰有两个相异的实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）确定出函数的定义域是解决本题的关键，利用导数作为工具，求出该函数的单调区间即可；
（2）方法一：利用函数思想进行方程根的判定问题是解决本题的关键．构造函数，研究构造函数的性质尤其是单调性，列出该方程有两个相异的实根的不等式组，求出实数a的取值范围．
方法二：先分离变量再构造函数，利用函数的导数为工具研究构造函数的单调性，根据题意列出关于实数a的不等式组进行求解．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（1，+∞），
∵f′（x）=2[$\frac{1}{x-1}$-（x-1）]=-$\frac{2x（x-2）}{x-1}$，
∵x＞1，则使f'（x）＞0的x的取值范围为（1，2），
令f′（x）＜0，解得：x＞2，
故函数f（x）的单调递增区间为（1，2），递减区间是（2，+∞）；
（2）方法1：∵f（x）=2ln（x-1）-（x-1）²，
∴f（x）+x²-3x-a=0?x+a+1-2ln（x-1）=0．
令g（x）=x+a+1-2ln（x-1），
∵g'（x）=1-$\frac{2}{x-1}$=$\frac{x-3}{x-1}$，且x＞1，
由g'（x）＞0得x＞3，g'（x）＜0得1＜x＜3．
∴g（x）在区间[2，3]内单调递减，在区间[3，4]内单调递增，
故f（x）+x²-3x-a=0在区间[2，4]内恰有两个相异实根
?$\left\{\begin{array}{l}{g（2）≥0}\\{g（3）＜0}\\{g（4）≥0}\end{array}\right.$即 $\left\{\begin{array}{l}{a+3≥0}\\{a+4-2ln2＜0}\\{a+5-2ln3≥0}\end{array}\right.$解得：2ln3-5≤a＜2ln2-4．
综上所述，a的取值范围是[2ln3-5，2ln2-4）．
方法2：∵f（x）=2ln（x-1）-（x-1）²，
∴f（x）+x²-3x-a=0?x+a+1-2ln（x-1）=0．
即a=2ln（x-1）-x-1，令h（x）=2ln（x-1）-x-1，
∵h'（x）=$\frac{2}{x-1}$-1=$\frac{3-x}{x-1}$，且x＞1，
由h'（x）＞0得1＜x＜3，h'（x）＜0得x＞3．
∴h（x）在区间[2，3]内单调递增，在区间[3，4]内单调递减．
∵h（2）=-3，h（3）=2ln2-4，h（4）=2ln3-5，又h（2）＜h（4），
故f（x）+x²-3x-a=0在区间[2，4]内恰有两个相异实根?h（4）≤a＜h（3）．
即2ln3-5≤a＜2ln2-4．
综上所述，a的取值范围是[2ln3-5，2ln2-4）．

点评 本题考查导数的工具作用，考查学生利用导数研究函数的单调性的知识．考查学生对方程、函数、不等式的综合问题的转化与化归思想，将方程的根的问题转化为函数的图象交点问题，属于综合题型．