Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数，且，在以为极点、轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系取相同的单位长度）中，曲线的极坐标方程为，设直线经过定点，且与曲线交于、两点．

（Ⅰ）求点的直角坐标及曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）求证：不论为何值时，为定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）直角坐标为，；（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）根据题意,令直线的参数方程中即可求出点的直角坐标，整理化简曲线的极坐标方程,结合,即可得到曲线的直角坐标方程;

（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数的几何意义,利用韦达定理即可证明为定值.

（Ⅰ）因为直线的参数方程为（其中为参数，且，

所以当时，得点，即点的直角坐标为；

又曲线的极坐标方程为，

，，

，，

即曲线的直角坐标方程为；

（Ⅱ）证明：将直线的参数方程代入，

整理得，其中，

所以判别式△，

由韦达定理可得,，，

由参数方程中参数的几何意义可得,

，

即不论为何值时，都为定值1．