Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，A₁A=AC=BC=1，AB=，点D是AB的中点．
（I）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（II）求三棱锥A₁-ABC₁的体积．

Answer 1

（本小题满分12分）
证明：（I） 设CB₁与C₁B的交点为E，连接DE，
∵D是AB的中点，E是BC₁的中点，∴DE∥AC₁，…（3分）
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，∴AC₁∥平面CDB₁．…（5分）
（II）底面三边长AC=BC=1，AB=，∴AC⊥BC，…（7分）
∵A₁A⊥底面ABC，∴A₁A⊥BC；
而A₁A∩AC=C，∴BC⊥面AA₁C₁C，则BC为三棱锥B-A₁AC₁的高； …（9分）
∴．…（12分）
（注：若用其他方法求得，相同标准给分）
分析：（I） 设CB₁与C₁B的交点为E，连接DE，通过证明DE∥AC₁，利用直线与平面平行的判定定理证明AC₁∥平面CDB₁．
（II）要求三棱锥A₁-ABC₁的体积，转化为求出底面A₁AC₁的面积，说明BC为三棱锥B-A₁AC₁的高；即可求解．
点评：本题考查直线与平面平行的判定定理，棱锥的体积的求法，考查转化思想与计算能力．