Question

如图,棱长为1的正四面体ABCD中,E、F分别是棱AD、CD的中点,O是点A在平面BCD内的射影.

(1)求直线EF与直线BC所成角的大小;

(2)求点O到平面ACD的距离;

(3)(理)求二面角ABEF的大小.

(文)求二面角CBFE的大小.

Answer 1

解：方法一:(1)因为E、F分别是棱AD、CD的中点,所以EF∥AC.所以∠BCA是EF与BC所成角.因为正四面体ABCD,所以△ABC为正三角形.所以∠BCA=60°,即EF与BC所成角的大小是60°.

(2)解法一:如图,连结AO,AF,

因为F是CD的中点,且△ACD,△BCD均为正三角形,所以BF⊥CD,AF⊥CD.因为BF∩AF=F,所以CD⊥面AFB.因为CD面ACD,所以面AFB⊥面ACD.因为ABCD是正四面体,且O是点A在面BCD内的射影,所以点O必在正三角形BCD的中线BF上.在面ABF中,过O作OG⊥AF,垂足为G,所以OG⊥面ACD,即OG的长为点O到面ACD的距离.因为正四面体ABCD的棱长为1,在△ABF中,容易求出AF=BF=,OF=,AO=,因为△AOF∽△OGF,故由相似比易求出OG=.所以点O到平面ACD的距离是.

解法二:如图,连结AO,CO,DO,所以点O到平面ACD的距离就是三棱锥O—ACD底面ACD上的高h.与解法一同理容易求出OF=,AO=,所以V_A—COD=· (··1)=.

因为V_O—ACD=V_A—COD,所以=V_O—ACD=·h·(··1).解得h=.

(3)(理)设△ABD中,AB边的中线交BE于H,连结CH,则由ABCD为正四面体知CH⊥面ABD.

设HD的中点为K,则FK∥CH.

所以FK⊥面ABD.在面ABD内,过点K作KN∥AD,KN交BE于M,交AB于N,因为BE⊥AD,所以NM⊥BE.连结FM,所以FM⊥BE.所以∠NMF是所求二面角的平面角.

因为FK=CH=·=,MK=ED=AD=,所以tan∠FMK==.

所以tan∠NMF=tan(π-∠FMK)=.所以所求二面角的大小为π-arctan.

(或者由正四面体的对称性,可转求二面角CBFE的大小)

(文)连结OD,设OD的中点为K,连结EK,

则EK∥AO.因为AO⊥面BCD,所以EK⊥面BCD.在平面BCD内,过点K作KN∥CD,KN交BF于M,交BC于N,因为BF⊥CD,所以KN⊥BF.连结EM,所以EM⊥BF.所以∠NME是所求二面角的平面角.

因为EK=AO=·=,MK=FD=CD=,所以tan∠EMK==.

所以tan∠NME=tan(π-∠EMK)=.所以所求二面角的大小为π-arctan.

方法二:如图,以点A在面BCD的射影O为坐标原点,有向直线OA为z轴,有向直线BF为y轴,x轴为过点O与DC平行的有向直线.

因为正四面体ABCD的棱长为1,

所以可以求出各点的坐标依次为:O(0,0,0),A(0,0,),B(0,-,0),C(,,0),D(-,

,0),E(-,,),F(0,,0).

(1)因为=(,,-),=(,,0),又=×+×-×0

=+=,且||=||=,||=1,所以cos〈〉==.

所以EF与BC所成角的大小是60°.

(2)因为=(,,-),=(-,,-),

设平面ACD的一个法向量为F_ACD=(x₁,y₁,z₁),由·F_ACD=0,·F_ACD=0,

解得F_ACD=(0,2,).因为=(0,,0),·F_ACD=,|F_ACD|=,

所以点O到平面ACD的距离d=.

(3)(理)因为=(0,-,-),=(-,,-),

设平面ABD的一个法向量为F_ABD=(x₂,y₂,z₂),由·F_ABD=0,·F_ABD=0,

可得一个法向量F_ABD=().

同理可以求出平面BEF的一个法向量为F_BEF=(,0,3).

因为F_ABD·F_BEF=-9,|F_ABD|=3,|F_BEF|=,所以cosβ=.

所以二面角ABEF的大小为arccos()=π-arccos.

(文)因为=(,,-),=(0,,0),设平面BEF的一个法向量为F_BEF=(x₂,y₂,z₂),

由·F_BEF=0,·F_BEF=0,可得平面BEF的一个法向量F_BEF=(,0,3).

容易得到平面BCF的一个法向量F_BCF=(0,0,-1).因为F_BEF·F_BCF=-3,|F_BEF|=,|F_BCF|=1,

所以cosβ=.

所以二面角CBFE的大小为arccos()=π-arccos.