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    （2012•荆州模拟）已知数列{an}、{bn}，an＞0，a1=6，点An(an，
    		an+1
    )    在抛物线y2=x+1上；点Bn（n，bn）在直线y=2x+1上．
    （1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
    （2）若f(n)=
    an
    bn
    n为奇数
    n为偶数
    ，问是否存在k∈N*，使f（k+15）=2f（k）成立，若存在，求出k值；若不存在，说明理由；
    （3）对任意正整数n，不等式
    an
    (1+
    1
    b1
    )(1+
    1
    b2
    )…(1+bn)
    -
    an-1
    		n-2+an
    ≤0    成立，求正实数a的取值范围．
    分析：（1）由点An(an，
    		an+1
    )    在抛物线y2=x+1上，知an+1=an+1，由此能求出an=n+5．由点Bn（n，bn）在直线y=2x+1上．能求出bn=2n+1．
    （2）由f(n)=
    an，n为奇数
    bn，n为偶数
    ，知当k为奇数时，k+15为偶数，故2（k+15）+1=2（k+5），显然不成立．当k为偶数时，k+15为奇数，则有k+20=2（2k+1），由此能求出k．
    （3）由
    an
    (1+
    1
    b1
    )(1+
    1
    b2
    )…(1+bn)
    -
    an-1
    		n-2+an
    ≤0    ，得：a≤
    1
    		2n+3
    (1+
    1
    b1
    )(1+
    1
    b2
    )…(1+
    1
    bn
    )    ，记g（n）=
    1
    		2n+3
    (1+
    1
    b1
    )(1+
    1
    b2
    )…(1+
    1
    bn
    )    ，由此能求出正实数a的取值范围．
    解答：解：（1）∵点An(an，
    		an+1
    )    在抛物线y2=x+1上，
    ∴an+1=an+1，
    ∵an＞0，a1=6，
    ∴{an}是首项a1=6，公差d=an+1-an=1的等差数列，
    ∴an=n+5．
    ∵点Bn（n，bn）在直线y=2x+1上．
    ∴bn=2n+1…（4分）
    （2）f(n)=
    an，n为奇数
    bn，n为偶数
    ，
    当k为奇数时，k+15为偶数，
    ∴2（k+15）+1=2（k+5），显然不成立．
    当k为偶数时，k+15为奇数，则有k+20=2（2k+1），解得k=6．…（8分）
    （3）由
    an
    (1+
    1
    b1
    )(1+
    1
    b2
    )…(1+bn)
    -
    an-1
    		n-2+an
    ≤0    ，
    得：a≤
    1
    		2n+3
    (1+
    1
    b1
    )(1+
    1
    b2
    )…(1+
    1
    bn
    )    ，
    记g（n）=
    1
    		2n+3
    (1+
    1
    b1
    )(1+
    1
    b2
    )…(1+
    1
    bn
    )    ，
    则
    g(n+1)
    g(n)
    =
    		2n+3
    		2n+5
    (1+
    1
    bn+1
    )=
    		2n+3
    		2n+5
    •
    2n+4
    2n+3
    =
    		(2n+4)2
    		2n+5
    •
    		2n+3
    ＞1
    ∴g（n+1）＞g（n），即g（n）递增．
    ∴g(n)min=g(1)=
    1
    		5
    •
    4
    3
    =
    4
    		5
    15
    ，
    即0＜a≤
    4
    		5
    15
    ．…（13分）
    点评：本题考查数列的通项公式的求法、实数k是否存在的判断和求正实数a的取值范围．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
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