Question

设各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁+a₃=10，a₃+a₅=40．设b_n=log₂a_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；     
（2）若c₁=1，cn+1=cn+

bn

an

，求证：c_n＜3．

Answer 1

（1）设数列{a_n}的公比为q（q＞0），
由a₁+a₃=10，a₃+a₅=40，则

a1+a1q2=10    ① a1q2+a1q4=40②

，
∵a₁≠0，②÷①得：q²=±2，又q＞0，∴q=2．
把q=2代入①得，a₁=2．
∴a_n=a1qn-1=2×2n-1=2ⁿ，则b_n=log2an=log22n=n；
（2）证明：∵c₁=1＜3，c_n+1-c_n=

bn

an

=

n

2n

，
当n≥2时，c_n=（c_n-c_n-1）+（c_n-1-c_n-2）+…+（c₂-c₁）+c₁=1+

1

2

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

③，
∴

1

2

c_n=

1

2

+

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

④，
③-④得：

1

2

cn=1+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n-1

2n

=1+

1 4 (1- 1 2n-2 )

1- 1 2

-

n-1

2n

=1+

1

2

-

1

2n-1

-

n-1

2n

．
∴cn=3-

1

2n-2

-

n-1

2n-1

＜3（n≥2）．
故c_n＜3（n∈N^*）．