Question

17．若非零向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{b}$的夹角为钝角，|$\overrightarrow{b}$|=2，且当t=-$\frac{1}{2}$时，|$\overrightarrow{b}$-t$\overrightarrow{a}$|取最小值$\sqrt{3}$．向量$\overrightarrow{c}$满足（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$），则当$\overrightarrow{c}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$取最大值时，|$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$|等于（　　）

• A． $\sqrt{6}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 $|\overrightarrow{b}-t\overrightarrow{a}{|}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}（t-\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{{\overrightarrow{a}}^{2}}）^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$-$\frac{（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）^{2}}{{\overrightarrow{a}}^{2}}$，根据当t=-$\frac{1}{2}$时，|$\overrightarrow{b}$-t$\overrightarrow{a}$|取最小值$\sqrt{3}$．可得$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{{\overrightarrow{a}}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，$4-\frac{（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）^{2}}{{\overrightarrow{a}}^{2}}$=3，解得$|\overrightarrow{a}|$=2，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-2，可得$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=$\frac{2π}{3}$．不妨设$\overrightarrow{a}$=（-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（2，0），$\overrightarrow{c}$=（x，y）．根据向量$\overrightarrow{c}$满足（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$），可得（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$）=0，可得$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+$（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$=3．令$\overrightarrow{c}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$=x+$\sqrt{3}$y=t．当上述直线与圆相切时，可得t=$2±2\sqrt{3}$，取t=2+2$\sqrt{3}$时，$\overrightarrow{c}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$取最大值．直线方程与圆的方程联立解得（x，y），即可得出．

解答 解：$|\overrightarrow{b}-t\overrightarrow{a}{|}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}{t}^{2}$-$2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$
=${\overrightarrow{a}}^{2}（t-\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{{\overrightarrow{a}}^{2}}）^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$-$\frac{（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）^{2}}{{\overrightarrow{a}}^{2}}$，
∵当t=-$\frac{1}{2}$时，|$\overrightarrow{b}$-t$\overrightarrow{a}$|取最小值$\sqrt{3}$．
∴$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{{\overrightarrow{a}}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，$4-\frac{（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）^{2}}{{\overrightarrow{a}}^{2}}$=3，
解得$|\overrightarrow{a}|$=2，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-2，
∴$2×2×cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=-2，
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=-$\frac{1}{2}$，
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=$\frac{2π}{3}$．
不妨设$\overrightarrow{a}$=（-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（2，0），$\overrightarrow{c}$=（x，y）．
向量$\overrightarrow{c}$满足（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$），
∴（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$）=（x-2，y）•（x+1，$y-\sqrt{3}$）
=（x-2）（x+1）+y（y-$\sqrt{3}$）
=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+$（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$-3=0，
∴$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+$（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$=3．（*）
$\overrightarrow{c}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$=（x，y）•（1，$\sqrt{3}$）=x+$\sqrt{3}$y．
令t=x+$\sqrt{3}$y．
当上述直线与（*）相切时，$\frac{|\frac{1}{2}+\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}-t|}{2}$=$\sqrt{3}$，解得
t=$2±2\sqrt{3}$，
取t=2+2$\sqrt{3}$时，$\overrightarrow{c}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$取最大值．
此时联立$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y=2+2\sqrt{3}}\\{（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{3+\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$=$（\frac{-3+\sqrt{3}}{2}，\frac{3+\sqrt{3}}{2}）$．
|$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}-3}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}+3}{2}）^{2}}$=$\sqrt{6}$．
故选：A．

点评 本题考查了数量积的定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系、二次函数的单调性、点到直线的距离公式、直线与圆相切的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于难题．