Question

已知一条不在y轴左侧的曲线E上的每个点到A（1，0）的距离减去它到y轴的距离差都是1．
（1）求曲线E的方程；
（2）已知曲线E的一条焦点弦被焦点分成长为m、n两部分，试判断

1

m

+

1

n

是否为定值，若是求出定值并加以证明，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意及抛物线的定义可判断曲线E为以点A为焦点的抛物线，从而可得其方程；
（2）几何法：当焦点垂直x轴时易求

1

m

+

1

n

的值；当焦点不垂直x轴时，作出示意图，利用抛物线定义及三角形相似可得m，n间的关系式，化简后整理即可得到

1

m

+

1

n

的值，综上可得结论．

解答：解：（1）由曲线E上的每个点到A（1，0）的距离减去它到y轴的距离差都是1，知曲线E上的点到A的距离等于到x=-1的距离，
所以曲线E为以A为焦点、x=-1为准线的抛物线，
所以曲线E的方程为：y²=4x；
（2）

1

m

+

1

n

是定值为1，证明如下：
当焦点弦垂直x轴时，把x=-1代入抛物线方程y²=4x，得y═±2，
所以此时m=n=2，故

1

m

+

1

n

=

1

2

+

1

2

=1；
当焦点弦不垂直x轴时，如下图所示：

不妨设MF=m，NF=n，且m＞n，则PM=m，QN=n，设NR交x轴与S，则SF=2-n，RM=m-n，
在Rt△MNR中，由三角形相似得

SF

RM

=

NF

NM

，即

2-n

m-n

=

n

m+n

，即（2-n）（m+n）=n（m-n），
所以（m+n）=mn，两边同除以mn得

1

m

+

1

n

=1，即为定值1．
综上，

1

m

+

1

n

为定值1．

点评：本题考查函数与方程的综合运用，考查抛物线的定义及直线与圆锥曲线的位置关系，要认真体会几何图形在本题中的应用．