Question

已知点A（-2，0）在椭圆上，设椭圆E与y轴正半轴的交点为B，其左焦点为F，且∠AFB=150°．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过x轴上一点M（m，0）（m≠-2）作一条不垂直于y轴的直线l交椭圆E于C、D点．
（i）若以CD为直径的圆恒过A点，求实数m的值；
（ii）若△ACD的重心恒在y轴的左侧，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵∠AFB=150°
∴∠OFB=30°（O为坐标原点）在直角△BOF中，|FB|=2|OB|
∵a=2b ∵点A（﹣2，0）在椭圆上
∴a=2  ∴b=1  ∴椭圆；
（2）∵直线l过x轴上一点M（m，0）（m≠﹣2）不垂直于y轴
∴l：x=ty+m与椭圆方程联立
消元整理可得（t²+4）y²+2mty+m²﹣4=0
∴△=4m2t2﹣4（t2+4）（m2﹣4）＞0
∴t²＞m²﹣4设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
∴，
（i）若以CD为直径的圆恒过A点，则∵=（x₁+2，y₁），=（x₂+2，y₂）
∴x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=
∴或m=﹣2（舍去）
∴实数m的值为；
（ii）若△ACD的重心恒在y轴的左侧，即重心的横坐标恒小于0，即，∴
∴4m＜t2+4对所有符合条件的t恒成立
由t²＞m²﹣4知：
①若m²﹣4＜0，即﹣2＜m＜2时，t²∈[0，+∞）
∴t₂+4≥4   ∴m＜1   ∴﹣2＜m＜1；
②若m²﹣4≥0，即m≤﹣2或m≥2时，t²∈（m²﹣4，+∞），∴4m＜m²，∴m≤0或m≥4
综上知，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，1）∪[4，+∞）