Question

（2012•长春模拟）已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列，并写出数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足4b1-1•4b2-1•4b3-1…4bn-1=(an+1)n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由题意可得 a_n+1+1=2（a_n+1），数列{a_n+1}是以2为公比、以2为首项的等比数列，求得a_n+1=2ⁿ，从而求得{a_n}的通项公式．
（2）由题意可得 4b1+b2+…+bn-n=（2ⁿ）ⁿ=(2)n2，即 2（b₁+b₂+…+b_n）-2n=n²，由此求得数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）证明：∵a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），∴a_n+1+1=2（a_n+1）．
又 a₁=1，a₁+1≠0，∴

an+1+1

an+1

=2，
∴数列{a_n+1}是以2为公比、以2为首项的等比数列，
∴a_n+1=2ⁿ，即a_n =2ⁿ-1．
（2）∵4b1-1•4b2-1•4b3-1…4bn-1=(an+1)n，
]∴4b1+b2+…+bn-n=（2ⁿ）ⁿ=(2)n2，
∴2（b₁+b₂+…+b_n）-2n=n²，
∴b₁+b₂+…+b_n=

n2

2

+ n．

点评：本题主要考查等比关系的确定，指数幂的运算性质，属于中档题．