Question

如图过抛物线的对称轴上一点P（0，m）（m＞0）作直线l与抛物线交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，点Q是P关于原点的对称点，以P，Q为焦点的椭圆为C₂．
（1）求证：x₁x₂为定值；
（2）若l的方程为x-2y+4=0，且C₁，C₂以及直线l有公共点，求C₂的方程；
（3）设，若，求证：λ=μ

Answer 1

解：（1）设直线l的方程为y=kx+m，
联立，得x²-4kx-4m=0，
∵直线l与抛物线交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
∴x₁x₂=-4m．
（2）∵l的方程为x-2y+4=0，∴m=2，
∵点Q是P关于原点的对称点，
∴P（0，2），Q（0，-2），
联立，得A（-2，1），B（4，4），
∵C₁，C₂以及直线l有公共点，
∴C₁，C₂以及直线l的公共点为A（-2，1），
∵P，Q为焦点的椭圆为C₂，∴设椭圆为C₂的方程为．
由C₁，C₂以及直线l的公共点为A（-2，1），
知2a==，
∴，
∴椭圆为C₂的方程为．
（3）由，则，
因为
所以，
，
∴2m[y₁-μy₂+（1-μ）m]=0，
从而，
即，
，
故或（舍去）
故λ=μ．
分析：（1）设直线l的方程为y=kx+m，联立，得x²-4kx-4m=0，由此能够证明x₁x₂=-4m．
（2）由l的方程为x-2y+4=0，知m=2，由点Q是P关于原点的对称点，知P（0，2），Q（0，-2），联立，得A（-2，1），B（4，4），由C₁，C₂以及直线l有公共点，知C₁，C₂以及直线l的公共点为A（-2，1），由此能求出椭圆为C₂的方程．
（3）由，知，因为所以，由此能够证明λ=μ．
点评：本题考查x₁x₂为定值的证明，求椭圆C₂的方程和求证：λ=μ．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．