Question

已知函数f（x）=，则f（f（x））=   
下面三个命题中，所有真命题的序号是    ．
①函数f（x）是偶函数；
②任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立；
③存在三个点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃）），使得△ABC为等边三角形．

Answer 1

【答案】分析：根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1．根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数，①正确；根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质，得②正确；取x₁=-，x₂=0，x₃=，可得A（，0）、B（0，1）、C（-，0）三点恰好构成等边三角形，得③正确．
解答：解：∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0
∴当x为有理数时，ff（（x））=f（1）=1；当x为无理数时，ff（（x））=f（0）=1
即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1
接下来判断三个命题的真假
对于①，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，
所以对任意x∈R，都有f（-x）=-f（x），故①正确；
对于②，若x是有理数，则x+T也是有理数； 若x是无理数，则x+T也是无理数
∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故②正确；
对于③，取x₁=-，x₂=0，x₃=，可得f（x₁）=0，f（x₂）=1，f（x₃）=0
∴A（，0），B（0，1），C（-，0），恰好△ABC为等边三角形，故③正确．
故答案为：1     ①②③
点评：本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于基础题．