Question

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f(x)=

1

2

+log2

x

1-x

的图象上任意两点，且

OM

=

1

2

(

OA

+

OB

)，已知M的横坐标为

1

2

．
（1）求证：M点的纵坐标为定值；
（2）若Sn=

n-1

i=1

f(

i

n

)，其中n∈N^*，且n≥2，求S_n；
（3）已知an=

2 3 ，n=1 1 (Sn+1)(Sn+1+1) ，n≥2

，其中n∈N^*，T_n为数列{a_n}的前n项和，T_n＜λ（S_n+1+1），对一切n∈N*都成立，试求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题设条件知M是AB的中点，由中点坐标公式可以求出M点的给坐标．
（2）Sn=

n-1

i=1

f(

i

n

)=f(

1

n

)+f(

2

n

)++f(

n-1

n

)，即Sn=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)++f(

1

n

)
以上两式相加后两边再同时除以2就得到S_n．
（3）当n≥2时，根据题设条件，由T_n＜λ（S_n+1+1）得

2n

n+2

＜λ•

n+2

2

，
∴λ＞

4n

(n+2)2

=

4n

n2+4n+4

=

4

n+ 4 n +4

，再由均值不等式求出λ的取值范围．

解答：解：（1）∵

OM

=

1

2

(

OA

+

OB

)
∴M是AB的中点，设M点的坐标为M（x，y），
由

1

2

(x1+x2)=x=

1

2

，得x₁+x₂=1，则x₂=1-x₁
而y=

y1+y2

2

=

1

2

[(

1

2

+log2

x1

1-x1

)+(

1

2

+log2

x2

1-x2

)]
=

1

2

[(

1

2

+log2

x1

1-x1

)+(

1

2

+log2

1-x1

x1

)]=

1

2

∴M点的纵坐标为定值

1

2

（2）由（1）知若x₁+x₂=1则f（x₁）+f（x₂）=y₁+y₂=1，Sn=

n-1

i=1

f(

i

n

)=f(

1

n

)+f(

2

n

)++f(

n-1

n

)
即Sn=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)++f(

1

n

)
以上两式相加得：2Sn=[f(

1

n

)+f(

n-1

n

)]+[f(

2

n

)+f(

n-2

n

)]+[f(

n-1

n

)+f(

1

n

)]═

1+1++1

(n-1)个

=n-1
∴Sn=

n-1

2

（3）当n≥2时，an=

1

(Sn+1)(Sn+1+1)

=

4

(n+1)(n+2)

=4(

1

n+1

-

1

n+2

)
∴T_n=a₁+a₂+…+a_n=

2

3

+4[(

1

3

-

1

4

)+(

1

4

-

1

5

)++(

1

n+1

-

1

n+2

)]=

2

3

+4(

1

3

-

1

n+2

)=

2n

n+2

由T_n＜λ（S_n+1+1）得

2n

n+2

＜λ•

n+2

2

∴λ＞

4n

(n+2)2

=

4n

n2+4n+4

=

4

n+ 4 n +4

∵n+

4

n

≥4，当且仅当n=2时“=”成立
∴

4

n+ 4 n +4

≤

4

4+4

=

1

2

．
因此λ＞

1

2

，即λ的取值范围为(

1

2

，+∞)

点评：本题考查了中点坐标公式、数列求和、均值不等式、对数性质等知识点，难说度较大，解题时要认真审题，仔细作答．