Question

设函数f(x)=(2-a)lnx+

1

x

+2ax；（a∈R）．
（1）当a=0时，求f（x）的极值．（2）当a≠0时，求f（x）的单调区间．（3）当a=2时，对于任意正整数n，在区间[

1

2

，6+n+

1

n

]上总存在m+4个数a₁，a₂，a₃，…，a_m，a_m+1，a_m+2，a_m+3，a_m+4，使得f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_m）＜f（a_m+1）+f（a_m+2）+f（a_m+3）+f（a_m+4）成立，试问：正整数m是否有最大值？若有求其最大值；否则，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求导函数为0的根，在看根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．
（2）先求导函数，再求导函数为0的根，利用导函数大于0的区间为原函数的增区间，导函数小于0的区间为原函数的减区间来求单调区间即可．
（3）先判断出原函数在区间[

1

2

，6+n+

1

n

]上的单调性，再利用单调性把f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_m）＜f（a_m+1）+f（a_m+2）+f（a_m+3）+f（a_m+4）成立转化为mf(

1

2

)＜4f(6+n+

1

n

)对一切正整数成立即可求出正整数m是否有最大值．

解答：解：（1）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．
当a=0时，f(x)=2lnx+

1

x

，f′(x)=

2

x

-

1

x2

=

2x-1

x2

．
令f'（x）=0，解得x=

1

2

．
当0＜x＜

1

2

时，f'（x）＜0；当x＞

1

2

时，f'（x）＞0．
又f(

1

2

)=2-2ln2，所以f（x）的极小值为2-2ln2，无极大值．
（2）f′(x)=

2-a

x

-

1

x2

+2a=

2ax2+(2-a)x-1

x2

．
令f'（x）=0，解得x1=-

1

a

，x2=

1

2

．
若a＞0，令f'（x）＜0，得0＜x＜

1

2

；令f'（x）＞0，得x＞

1

2

．
若a＜0，
①当a＜-2时，-

1

a

＜

1

2

，令f'（x）＜0，得0＜x＜-

1

a

或x＞

1

2

；
令f'（x）＞0，得-

1

a

＜x＜

1

2

．
②当a=-2时，f′(x)=-

(2x-1)2

x2

≤0．
③当-2＜a＜0时，得-

1

a

＞

1

2

，
令f'（x）＜0，得0＜x＜

1

2

或x＞-

1

a

；令f'（x）＞0，得

1

2

＜x＜-

1

a

．
综上所述，当a＞0时，f（x）的递减区间为(0，

1

2

)，递增区间为(

1

2

，+∞)．
当a＜-2时，f（x）的递减区间为(0，-

1

a

)，(

1

2

，+∞)；递增区间为(-

1

a

，

1

2

)．
当a=-2时，f（x）递减区间为（0，+∞）．
当-2＜a＜0时，f（x）的递减区间为(0，

1

2

)，(-

1

a

，+∞)，递增区间为(

1

2

，-

1

a

)．
（3）当a=2时，f(x)=

1

x

+4x，
由f′(x)=-

1

x2

+4=

4x2-1

x2

，知x∈[

1

2

 ，6+n+

1

n

]时，f'（x）≥0.f(x)min=f(

1

2

)=4，f(x)max=f(6+n+

1

n

)．
依题意得：mf(

1

2

)＜4f(6+n+

1

n

)对一切正整数成立．
令k=6+n+

1

n

，则k≥8（当且仅当n=1时取等号）．
又f（k）在区间[6+n+

1

n

，+∞)单调递增，得f(k)min=32

1

8

，
故m＜32

1

8

，又m为正整数，得m≤32，
当m=32时，存在a1=a2═a32=

1

2

，a_m+1=a_m+2=a_m+3=a_m+4=8，对所有n满足条件．所以，正整数m的最大值为32．

点评：题考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．